「remember to～」は「～するのを忘れない」という意味です。
「～することを覚えている」と言い換えることもできます。
「remember ～ing」は「～したことを覚えている」という意味です。
「～したことを記憶している」と言い換えることもできます。
「remember to～」の意味
「～するのを忘れない」という意味です。
remember の後はto+動詞の原型が置かれます。
（「to+動詞の原型」を不定詞と言います。）
toの後に置かれる動詞の動作が行われるのはrememberという動作よりも未来です。
（例：本を持っていくのを忘れない→「持っていく」という動作は「忘れない」という動作よりも先（＝未来）ですね。）
「remember ～ing」の意味
「～したことを覚えている」という意味です。
rememberの後は動詞のing形が置かれます。
（ここでの動詞のing形を動名詞と言います。）
ing形の動詞の動作が行われるのはrememberという動作よりも過去です。
（例：彼にパーティーで会ったことを覚えている→「会った」という動作は「覚えている」という動作よりも前（＝過去）ですね。）
「remember to～」と「remember ～ing」の用例
「remember to～」の用例
・Please remember to bring your toothbrush and toothpaste. Our hotel doesn't provide them for environmental protection.
（歯ブラシと歯磨き粉を忘れずに持参してください。当ホテルは環境保護の観点からそれらを提供していません。）
・I should remember to take these pills every after the meal. (毎食後この薬を忘れずに飲まなくては。）
「remember ～ing」の用例
・Do you remember watching that movie with me when we were young? (私達が若かったころ一緒にあの映画を観たのを覚えてる？）
・I remember meeting that guy, but don't remember his name. (あの男性に会ったことは覚えているが、名前を覚えていない。）
「remember to～」は「未来にする予定のことを忘れずに覚えている」「remember ～ing」は「過去にしたことを忘れずに覚えている」
「～」に入る動詞の動作が未来の場合は「remember to～」、過去の場合は「remember ～ing」です。
このルールは他にも「forgetr to～」(～するのを忘れる）と「forget ～ing」(～したのを忘れる）にも当てはまります。